演習

微分積分学の演習を担当した。
元工学部、数学の中でも遊び人
（分野にとらわれず、遊ぶ）のプライド？で
"意味のない問題を出さない"ことを頑張りました。

エントロピーであったり
人工知能で使われる色々な関数であったり。
知っていることが大体ですが、
中には「これ、一体どう使うんだろう？」
と色々調べたものもありました。

その中で一番よくわからなかったのが
双曲線関数
$\cosh$ とか$\sinh$ とかです。
ぼくは双曲幾何学を研究してるから
使うけれども、それはかなり特別な使い方。

調べてみると
これは、懸垂線の長さになるそうで
$\displaystyle\int_{-5}^5 5\cosh(x/5)$
などとすると、あるたわみ具合の懸垂線、
例えば電柱間の電線の
長さが求められる、とのこと。

ふーん。

こうやって色々調べながら授業をしてみると
一年生の微分積分学は
これから色々な理系の分野に進んでいく
色々な人の基礎に確かになっていくのが
とてもよくわかって、とても楽しかった。

もちろんぼくも大学１年生をやったのですが
こうやってもう一度みてみると
うむ、世界は広がっているなと思ったのでした。

校長先生のお話

「校長先生のお話」
大抵はつまらないものの代名詞。

中学、高校の頃
ぼくは校長先生のお話が楽しみだった。


青春という文字に、なんと横棒の多いことか。
諸君、この文字は幾多の苦難、挫折を乗り越えて進む
まさに青春そのものである。


男子校の良いところは、学内に男しかいないところであり
男子校の悪いところは、学内に男しかいないところである。


楽しい練習はない、厳しい練習を楽しめ。
ある部活動の合言葉に、私はひそかに膝を打った。



記憶を辿っているのできっと色々違うけれど
今でも覚えているのだから、すごいことだ。

ものすごい量の本を読む方だったとのこと。
本当は、作家になりたかったけれど
周りの期待と、母校への愛のため
校長先生を引き受けた、らしい。

彼のおかげか、国語の先生に面白い人がたくさんいた。
ぼくは、数学者である。
30歳を超えるまで、文章を読むのが
とても、とても苦手だった。
ここ最近、なぜか
むかし国語の授業の課題で
買わされた小説を読み直していた。
かなり古い言葉で書かれているものも多い。
当時、文章を読むのが苦手で仕方なかったぼくは
読むのが辛くて辛くて、辛かった。

いま、ぼくはそんな小説を、原文で読める。
面白い、と思える。

干支ひとまわり以上して、
漸くぼくに面白さをくれた、課題図書。

教育とは、いったいなんだろう。
少しずつ存在感を増す冬の香りを感じながら
不断より少し、静かに考える。

先日、校長先生が亡くなったそうです。
ご冥福をお祈りします。

まなぶ

５年以上前に書いたもの。
書き残すとは大切ですね。

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小学校から英語を学ぶ事について
最近いろいろ議論があるようで。
「日本語力も下がっているのに英語なんて！」
そんな意見が大半。

英語を勉強したら、
日本語ができなくなる
って本当だろうか。
僕は英語を勉強して
実際使ってみて、はじめて
「日本語でしか表現できない事」
に興味を持ったし
「自分が日本語を上手く話せていない」
という事に気づいた。
だから、もっと日本語について
知りたいと思うようになった。

「学ぶ」というのは、一つを入れたら、
他が追い出されるようなものではなくて
新しい何かを見たら
いままでの知識とまざりあって
さらにいろんな興味を
生み出すようなものじゃないのかな。

だから、僕が一番大切だと思うのは
こういう「わくわくの連鎖」みたいなものを、伝える事。
わくわくしちゃえば
人はいくらでも学ぶものだと思うのです。

テイラーの定理

テイラー展開。
様々な関数を、"ずっと続く"多項式に展開する。
これがとても便利。
そして、数学的にも大事。

コンピュータの上で sin関数を実装しようと思ったら？
ぼくらはテイラー展開を知っているので
欲しい精度でsin 関数を計算することができる。

（実を言うとコンピュータは
足し算をしたり、かけ算をするだけでも
少しずつ精度を失うのでテイラー展開だけだと足りない。
そこのところを詳しく知りたい人は
ぼくも著者に、一応、入っているこんな本もあります笑）

さてさて。
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P_N(x)}{e^x} = 0$
を示してくださいという
問題を出した($P_N(x)$ は$N$次多項式)。
指数関数の収束の"力強さ"を感じて欲しかった。
テイラー展開はなんで指数関数が"強い"のかを教えてくれる。

いろいろな問題に取り掛かる際
解に指数的に収束するような"解法"を
持っていると、多項式オーダーの誤差に
"まけない"。

実を言うと、ぼくの専門としている
双曲幾何は色々なものが指数速度で収束するので
多少の誤差をもろともしない議論ができて
結果として、世界が豊かになっている、
・・・たぶん。


少々ぼくの趣味に走ってしまいましたが
他にもいろいろ便利な
テイラー展開、どうぞよろしく。

きほん

微分積分学の基本定理：
$\int_a^b f'(x) = f(b)-f(a)$

細かい条件は本などをみてください。

おそらく全ての理工系の学科で
１年生の時に、線形代数と微分積分学を習う。
これらが本当に色々なところで出てくるから。

この二つを合わせて使うと良いことがあるという事を
微分積分学の基本定理は教えてくれる。

微分とは何か？
色々な説明をされるかと思う。
局所的な変化量であり
それは、「接線の傾き」という
言葉でも表現される。

接線は、まっすぐである。
線形である。

次元をあげると、微分は
「局所的な変化量を表す線形空間」を
取り出す操作になる。

そうして、ぼくらは線形代数を使える。
そうやって、線形代数を使って得られた情報を
積分する。

すると、元の関数の、欲しい情報を
上手に取り出せたりする。

線形空間はまっすぐで、色々扱いやすい。
その理論を、「曲がった場所」で
使えるようにする操作が微分。
そうやって、微分で得られたまっすぐな場所で
線形代数で取り出した情報を
集めて、元の関数の情報に復元する操作が
積分。

曲がった関数も扱えるようなれると
見える世界もグッと広がるのです。

つながり

連続であるということ、
つながっているということ
をきちんと理解するのに
$\epsilon$-$\delta$ 論法なるものを使います。

一本の紐があります。
紐の「はし」と「はし」は
つながっているでしょうか？

そりゃ、つながってるでしょ！
とても正しくて、とても良いです。

実際、"つながっている"と考えることで
多くの物理現象が説明できます。

でも、それをちょっと疑ってみるのです。

ひもを少し拡大してみると、
大抵は、いくつかの細いひもを
束ねてできています。

だから、紐の端の一点と
もう一方の端の一点が
違う細い紐に乗っていたら
"つながって"、いないのです。

一本の紐を取ってくれば
"つながっている"のか？

紐を、拡大して、拡大して、
うんと、拡大して、拡大すると
分子のあつまりになります。

分子同士はばらばらです。
分子間力で互いに引っ張りあって
"くっついて"いるのです。

でも、隙間も空いています。

だから、たぶん紐の「はし」と「はし」は
つながって、いないのです。

$\forall \epsilon>0$

そういったとき、つまりは
「どれだけ拡大しても」という意味です。
どれだけ拡大して
どれだけ小さいスケールでものを見ても
成り立っている何かを説明しようとしているよ

そんな意味だと、思います。

数列

しばらくは、授業の最初にお話ししようと
思っていることをまとめていきます。

個人的な感覚を、言いたいように
お話しする気でいますが
なにか、気に入らないことがありましたら、
こっそり教えてくださると嬉しいです。

さてさて。
数列。

$\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$
が$0$ に"収束"しますよ。
という話。

例えば、ボールを落としてみる。
そうすると、その「高さ」は収束する数列になる。

ちょっと注目して欲しいのは、
ボールの高さが「収束する」と
ボールそれ以上動かない、ということ。
収束先は、安定している。

たとえば、飛行機を飛ばすとき
いろいろな要因で飛行機は不安定になる。
ふらついた飛行機を、安定させるには
軌道を"収束"させればよい。

部屋の中でライターをつける。
一部だけ、熱くなる。
自然は素晴らしく、
部屋を"ほおって"おくと
温度のムラはなくなり、
温度はそれ以上動かなくなる。
つまり、安定する。
実はここでも、"何か"が収束している。

収束先は、安定している。
安定しているというのは
大抵とても良いことで
いろいろなものを安定させることが
とても大事。

つまり、いろいろなものを収束させると
結構良いことがある。

いつか、なにかを収束させたくなる
そんなときが、きっとくる。きっとね。

そんなとき、"なにか"の収束の理論は
（ほとんどの場合）数列の収束に
基づいて作られている。

だからまず、
数列の収束について
学んでみようということです。