予稿というか、メモです。
4コマ講演するのでそのメモです(詳しくはこちら)。
間違い等の可能性があります。教えてください。
論文を元に講演しますが、1コマ目は自分なりにグロモフ双曲空間についてお話しします。
(著作権が心配になったので1コマ目だけ公開します)
1コマ目:グロモフ双曲空間の復習
- Quasi geodesic とMorse 補題
- Tree-like 性質
- グロモフ積とShadow の定義、基本性質
(X,d_X):距離空間
定義:
- \gamma:I\rightarrow X が測地線(geodesic)である\iff \forall s,t\in I, d_X(\gamma(s),\gamma(t)) = |t-s|.
- \gamma:I\rightarrow X が(Q,c)- quasi-geodesic (qg)である\iff \forall s,t\in I,
\frac{1}{Q}|t-s|-c\leq d_X(\gamma(s),\gamma(t))\leq Q|t-s|+c. - X が測地的である。\iff 任意のx\not=y\in X に対して、x と y を結ぶ測地線が存在する。
- 測地的な距離空間X がグロモフ双曲的である\iff すべての測地三角形が\delta-thin.
Morse 補題: X:グロモフ双曲空間
その時 x,y\in Xに対して、x,yを結ぶ任意の二つの(Q,c)-qgは互いのL近傍に含まれている。L はQ,c,\delta のみできまる(x,yによらない)。
Tree-like 性質:X:グロモフ双曲空間
\exists K=K(\delta) s.t. 任意の4点 x,y,z,w に対して\exists T:\text{tree}\subset X such that
その時 x,y\in Xに対して、x,yを結ぶ任意の二つの(Q,c)-qgは互いのL近傍に含まれている。L はQ,c,\delta のみできまる(x,yによらない)。
Tree-like 性質:X:グロモフ双曲空間
\exists K=K(\delta) s.t. 任意の4点 x,y,z,w に対して\exists T:\text{tree}\subset X such that
- T は4つのvalence 1 の頂点を持ち、その頂点がx,y,z,w
- d_T をT上で測った距離とする時、
\forall p,q\in T, d_T(p,q)\leq d_X(p,q)+K
グロモフ積:
x,y,z\in X に対して、グロモフ積を
(x\cdot y)_z:=\frac{1}{2}(d_X(x,z) + d_X(y,z)-d_X(x,y))
で定める。
注:Tree-like 性質よりグロモフ積は測地線[x,y]とz の距離とみなせることがわかる。
グロモフ積の性質:
x,y,z\in X に対して、グロモフ積を
(x\cdot y)_z:=\frac{1}{2}(d_X(x,z) + d_X(y,z)-d_X(x,y))
で定める。
注:Tree-like 性質よりグロモフ積は測地線[x,y]とz の距離とみなせることがわかる。
グロモフ積の性質:
- (x\cdot y)_{x_0} \geq\min\{(x\cdot z)_{x_0}, (y\cdot z)_{x_0}\}
- {x_n} がグロモフ列\iff (x_n\cdot x_m)_{x_0}\rightarrow\infty as \min\{m,n\}\rightarrow\infty.
- {x_n}{y_n}がグロモフ同値\iff (x_n\cdot y_n)_{x_0}\rightarrow\infty.
- {グロモフ列}/グロモフ同値をグロモフ境界といい、\partial_\delta X とかく。
- グロモフ積はグロモフ境界に次のように拡張する。x,y\in \partial_\delta Xに対し
(x\cdot y)_{x_0}:= \sup\liminf_{m,n\rightarrow\infty}(x_m\cdot y_n)_{x_0}
ここで\sup は点列\{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y すべてについてとる。
Shadow:
S_{x_0}(x,R) := \{y\in X:(x\cdot y)_{x_0}\geq d_X(x,x_0) -R\}
- Shadow の補空間もShadow i.e.
0\leq R\leq d_X(x,y) とする。この時\exists C>0 s.t. X\setminus S_x(y,R)\subset S_y(x,\widetilde R).
ここで\widetilde R = d_X(x,y)-R + C.