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2017年9月3日日曜日

Mini-Workshop on Random links and 3-manifolds、講演メモ1

講演予稿をブログに書いてみるという実験です。
予稿というか、メモです。
4コマ講演するのでそのメモです(詳しくはこちら)。
間違い等の可能性があります。教えてください。
論文を元に講演しますが、1コマ目は自分なりにグロモフ双曲空間についてお話しします。
(著作権が心配になったので1コマ目だけ公開します)

1コマ目:グロモフ双曲空間の復習

  • Quasi geodesic とMorse 補題
  • Tree-like 性質
  • グロモフ積とShadow の定義、基本性質

(X,d_X):距離空間

定義:
  1. \gamma:I\rightarrow X測地線(geodesic)である\iff \forall s,t\in I, d_X(\gamma(s),\gamma(t)) = |t-s|.
  2. \gamma:I\rightarrow X(Q,c)- quasi-geodesic (qg)である\iff \forall s,t\in I,
    \frac{1}{Q}|t-s|-c\leq d_X(\gamma(s),\gamma(t))\leq Q|t-s|+c.
  3. X が測地的である。\iff 任意のx\not=y\in X に対して、xy を結ぶ測地線が存在する。
  4. 測地的な距離空間X がグロモフ双曲的である\iff すべての測地三角形が\delta-thin.
Morse 補題: X:グロモフ双曲空間
その時 x,y\in Xに対して、x,yを結ぶ任意の二つの(Q,c)-qgは互いのL近傍に含まれている。LQ,c,\delta のみできまる(x,yによらない)。

Tree-like 性質:X:グロモフ双曲空間
\exists K=K(\delta) s.t. 任意の4点 x,y,z,w に対して\exists  T:\text{tree}\subset X such that

  • T は4つのvalence 1 の頂点を持ち、その頂点がx,y,z,w
  • d_TT上で測った距離とする時、
    \forall p,q\in T, d_T(p,q)\leq d_X(p,q)+K
グロモフ積:
x,y,z\in X に対して、グロモフ積を
(x\cdot y)_z:=\frac{1}{2}(d_X(x,z) + d_X(y,z)-d_X(x,y))
で定める。
注:Tree-like 性質よりグロモフ積は測地線[x,y]とz の距離とみなせることがわかる。

グロモフ積の性質:

  • (x\cdot y)_{x_0} \geq\min\{(x\cdot z)_{x_0}, (y\cdot z)_{x_0}\}
  • {x_n} がグロモフ列\iff (x_n\cdot x_m)_{x_0}\rightarrow\infty as \min\{m,n\}\rightarrow\infty.
  • {x_n}{y_n}がグロモフ同値\iff (x_n\cdot y_n)_{x_0}\rightarrow\infty.
  • {グロモフ列}/グロモフ同値をグロモフ境界といい、\partial_\delta X とかく。
  • グロモフ積はグロモフ境界に次のように拡張する。x,y\in \partial_\delta Xに対し
    (x\cdot y)_{x_0}:= \sup\liminf_{m,n\rightarrow\infty}(x_m\cdot y_n)_{x_0}
    ここで\sup は点列\{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y すべてについてとる。
Shadow:

S_{x_0}(x,R) := \{y\in X:(x\cdot y)_{x_0}\geq d_X(x,x_0) -R\}
  • Shadow の補空間もShadow i.e.
    0\leq R\leq d_X(x,y) とする。この時\exists C>0 s.t. X\setminus S_x(y,R)\subset S_y(x,\widetilde R).
    ここで\widetilde R = d_X(x,y)-R + C.