Mini-Workshop on Random links and 3-manifolds、講演メモ１

講演予稿をブログに書いてみるという実験です。
予稿というか、メモです。
４コマ講演するのでそのメモです（詳しくはこちら）。
間違い等の可能性があります。教えてください。
論文を元に講演しますが、１コマ目は自分なりにグロモフ双曲空間についてお話しします。
（著作権が心配になったので１コマ目だけ公開します）

１コマ目：グロモフ双曲空間の復習

• Quasi geodesic とMorse 補題
• Tree-like 性質
• グロモフ積とShadow の定義、基本性質

$(X,d_X)$：距離空間

定義：

1. $\gamma:I\rightarrow X$ が測地線(geodesic)である$\iff$ $\forall s,t\in I$, $d_X(\gamma(s),\gamma(t)) = |t-s|$.
2. $\gamma:I\rightarrow X$ が$(Q,c)$- quasi-geodesic (qg)である$\iff$ $\forall s,t\in I$,
   $$\frac{1}{Q}|t-s|-c\leq d_X(\gamma(s),\gamma(t))\leq Q|t-s|+c.$$
3. $X$ が測地的である。$\iff$ 任意の$x\not=y\in X$ に対して、$x$ と $y$ を結ぶ測地線が存在する。
4. 測地的な距離空間$X$ がグロモフ双曲的である$\iff$ すべての測地三角形が$\delta$-thin.

Morse 補題： $X$:グロモフ双曲空間
その時 $x,y\in X$に対して、$x,y$を結ぶ任意の二つの$(Q,c)$-qgは互いの$L$近傍に含まれている。$L$ は$Q,c,\delta$ のみできまる（$x,y$によらない）。

Tree-like 性質：$X$:グロモフ双曲空間
$\exists K=K(\delta)$ s.t. 任意の４点 $x,y,z,w$ に対して$\exists  T:\text{tree}\subset X$ such that

• $T$ は４つのvalence 1 の頂点を持ち、その頂点が$x,y,z,w$
• $d_T$ を$T$上で測った距離とする時、
  \[\forall p,q\in T, d_T(p,q)\leq d_X(p,q)+K\]

グロモフ積：
$x,y,z\in X$ に対して、グロモフ積を
$$(x\cdot y)_z:=\frac{1}{2}(d_X(x,z) + d_X(y,z)-d_X(x,y))$$
で定める。
注：Tree-like 性質よりグロモフ積は測地線[x,y]とz の距離とみなせることがわかる。

グロモフ積の性質：

• $(x\cdot y)_{x_0} \geq\min\{(x\cdot z)_{x_0}, (y\cdot z)_{x_0}\}$

• {$x_n$} がグロモフ列$\iff$ $(x_n\cdot x_m)_{x_0}\rightarrow\infty$ as $\min\{m,n\}\rightarrow\infty$.
• {$x_n$}{$y_n$}がグロモフ同値$\iff$ $(x_n\cdot y_n)_{x_0}\rightarrow\infty$.
• {グロモフ列}/グロモフ同値をグロモフ境界といい、$\partial_\delta X$ とかく。
• グロモフ積はグロモフ境界に次のように拡張する。$x,y\in \partial_\delta X$に対し
  $$(x\cdot y)_{x_0}:= \sup\liminf_{m,n\rightarrow\infty}(x_m\cdot y_n)_{x_0}$$
  ここで$\sup$ は点列$\{x_n\}\rightarrow x$, $\{y_n\}\rightarrow y$ すべてについてとる。

Shadow:

$$S_{x_0}(x,R) := \{y\in X:(x\cdot y)_{x_0}\geq d_X(x,x_0) -R\} $$

• Shadow の補空間もShadow i.e.
  $0\leq R\leq d_X(x,y)$ とする。この時$\exists C>0$ s.t. $X\setminus S_x(y,R)\subset S_y(x,\widetilde R)$.
  ここで$\widetilde R = d_X(x,y)-R + C$.